【高中数学导数训练练习题(含答案)】导数是高中数学中非常重要的一部分，它不仅是函数变化率的体现，也是解决极值、单调性、曲线切线等问题的重要工具。掌握好导数的相关知识，对于提升数学综合能力具有重要意义。以下是一些关于导数的典型练习题，帮助同学们巩固基础知识，提高解题能力。
一、基础题型
1. 求下列函数的导数：
（1）$ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7 $
（2）$ f(x) = \frac{1}{x} $
（3）$ f(x) = \sqrt{x} $
（4）$ f(x) = e^{2x} $
（5）$ f(x) = \ln(3x) $
答案：
（1）$ f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 $
（2）$ f'(x) = -\frac{1}{x^2} $
（3）$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
（4）$ f'(x) = 2e^{2x} $
（5）$ f'(x) = \frac{1}{x} $
二、中等难度题型
2. 已知函数 $ f(x) = x^2 \cdot \sin x $，求其导数。
解法提示： 使用乘积法则，即 $ (uv)' = u'v + uv' $
答案：
$ f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x $
3. 求函数 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数。
解法提示： 使用商数法则，即 $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
答案：
$ f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} $
三、应用类题目
4. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，求其在区间 $ [-2, 2] $ 上的最大值和最小值。
解法提示： 先求导，找出临界点；再代入端点与临界点比较函数值。
步骤如下：
- 求导：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $
- 令导数为零：$ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 $
- 计算函数值：
- $ f(-2) = (-8) - (-6) = -2 $
- $ f(-1) = -1 + 3 = 2 $
- $ f(1) = 1 - 3 = -2 $
- $ f(2) = 8 - 6 = 2 $
答案： 最大值为 2，最小值为 -2。
5. 设函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，已知其图像在点 $ (1, 2) $ 处的切线斜率为 3，且过点 $ (0, 1) $，求 $ a $、$ b $、$ c $ 的值。
解法提示： 利用导数求切线斜率，利用点坐标建立方程组。
答案：
- 由 $ f(0) = 1 $ 得 $ c = 1 $
- 由 $ f'(x) = 2ax + b $，得 $ f'(1) = 2a + b = 3 $
- 由 $ f(1) = a + b + 1 = 2 \Rightarrow a + b = 1 $
- 联立解得：$ a = 1 $，$ b = 0 $，$ c = 1 $
四、拓展思考题
6. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，求其在 $ x = 1 $ 处的切线方程。
答案：
- 导数 $ f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0 $，即切线斜率为 0
- 函数在 $ x = 1 $ 处的值为 $ f(1) = -2 $
- 所以切线方程为 $ y = -2 $
总结
导数作为微积分的基础内容，在高中数学中占据重要地位。通过不断的练习，可以更好地理解导数的意义及其应用。建议同学们在做题时注意以下几点：
- 熟悉基本初等函数的导数公式
- 掌握求导法则（如乘积法则、商数法则、链式法则等）
- 善于结合几何意义进行分析（如切线、极值、单调性等）
希望以上练习题能够帮助大家夯实基础，提升解题能力！
