【arcsinx求导是多少】在微积分中，反三角函数的求导是常见的内容之一。其中，arcsinx（即反正弦函数）的导数是一个基础但重要的知识点。下面我们将对 arcsinx 的导数进行详细总结，并通过表格形式清晰展示。
一、arcsinx 的导数
定义：
函数 $ y = \arcsin x $ 是函数 $ y = \sin x $ 在区间 $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ 上的反函数。
导数公式：
$$
\frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad \text{其中 }
$$
说明：
该导数仅在定义域 $ (-1, 1) $ 内有效。当 $ x = \pm 1 $ 时，导数不存在，因为此时函数在端点处的切线为垂直方向。
二、常见反三角函数导数对比表
| 函数名称 | 表达式 | 导数公式 | 定义域 |
| 反正弦函数 | $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ (-1, 1) $ |
| 反余弦函数 | $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ (-1, 1) $ |
| 反正切函数 | $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ | $ (-\infty, \infty) $ |
| 反余切函数 | $ \operatorname{arccot} x $ | $ -\frac{1}{1 + x^2} $ | $ (-\infty, \infty) $ |
三、总结
- $ \arcsin x $ 的导数为 $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，适用于 $ x \in (-1, 1) $。
- 求导过程中需要用到反函数的求导法则和链式法则。
- 掌握这些导数有助于理解更复杂的函数组合与应用问题。
如果你正在学习微积分或准备考试，掌握这些基础函数的导数是非常有帮助的。
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