【圆系方程例题】在解析几何中，圆的方程是常见的知识点之一。而“圆系方程”则是指由一组具有共同特征的圆所组成的集合，这些圆通常可以通过一个参数或多个条件来表示。掌握圆系方程的解法，有助于解决与圆相关的综合问题。
以下是一些典型的圆系方程例题及其解答，帮助读者更好地理解这一概念。
一、圆系方程的概念
圆系方程是指满足某种条件的一组圆的方程，它们可以由两个已知圆的方程组合而成。例如：
- 过两圆交点的圆系方程：设两个圆的方程分别为 $ C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 $ 和 $ C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 $，则过这两个圆交点的所有圆的方程可表示为：
$$
x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0
$$
其中 $\lambda$ 为任意实数（$\lambda \ne -1$）。
- 与某直线相切的圆系：若已知一条直线 $ L: Ax + By + C = 0 $，则与该直线相切且圆心在某直线上的一类圆可构成一个圆系。
二、典型例题及解答
| 题号 | 题目 | 解答过程 | 答案 | ||
| 1 | 已知两圆 $ C_1: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0 $ 和 $ C_2: x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0 $，求过两圆交点的圆系方程。 | 将两圆方程代入圆系公式： $$ (x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4) + \lambda(x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21) = 0 $$ 整理得：$ (1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - (2+6\lambda)x - (4+8\lambda)y + (4+21\lambda) = 0 $ | 圆系方程为：$ (1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - (2+6\lambda)x - (4+8\lambda)y + (4+21\lambda) = 0 $ | ||
| 2 | 若圆 $ x^2 + y^2 + 2x + 4y + 1 = 0 $ 与直线 $ x + y + 1 = 0 $ 相切，求该圆的圆心坐标和半径。 | 圆的标准形式为：$ (x+1)^2 + (y+2)^2 = 4 $ 圆心为 $ (-1, -2) $，半径为 $ 2 $ | 圆心为 $ (-1, -2) $，半径为 $ 2 $ | ||
| 3 | 求与圆 $ x^2 + y^2 = 9 $ 相切且圆心在直线 $ y = x $ 上的圆的方程。 | 设圆心为 $ (a, a) $，半径为 $ r $，则有 $ \sqrt{a^2 + a^2} = r $，即 $ \sqrt{2a^2} = r $。 又因与原圆相切，故距离为 $ 3 + r $ 或 $ | 3 - r | $，解得 $ a = \pm 3 $，$ r = 3\sqrt{2} $ | 所求圆的方程为：$ (x-3)^2 + (y-3)^2 = 18 $ 或 $ (x+3)^2 + (y+3)^2 = 18 $ |
三、总结
通过上述例题可以看出，圆系方程的核心在于理解不同条件下圆之间的关系，并能够根据题目给出的条件构造出相应的圆系方程。掌握这一方法，不仅有助于提高解题效率，还能加深对圆的几何性质的理解。
建议在学习过程中多结合图形分析，增强空间想象能力，从而更灵活地运用圆系方程解决问题。
