【自控z变换的常用公式】在自动控制理论中，z变换是分析和设计离散时间系统的重要工具。它将连续时间信号转换为离散时间域中的表示，便于进行数字控制器的设计与系统分析。以下是一些在自控系统中常用的z变换公式及其对应关系，以加表格的形式呈现。
一、概述
z变换是一种数学工具，用于处理离散时间信号和系统。它类似于拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用。通过z变换，可以将差分方程转化为代数方程，从而简化系统的分析与设计。本文总结了常见的z变换公式及其对应的时域函数，适用于自动控制工程中的学习与应用。
二、常用z变换公式汇总
| 序号 | 时域函数 $ f(k) $（k ≥ 0） | z变换 $ F(z) $ | 说明 |
| 1 | $ \delta(k) $ | $ 1 $ | 单位脉冲序列 |
| 2 | $ u(k) $ | $ \frac{z}{z - 1} $ | 单位阶跃序列 |
| 3 | $ k $ | $ \frac{z}{(z - 1)^2} $ | 单位斜坡序列 |
| 4 | $ a^k $ | $ \frac{z}{z - a} $ | 指数序列，a为常数 |
| 5 | $ k a^k $ | $ \frac{az}{(z - a)^2} $ | 加权斜坡序列 |
| 6 | $ \sin(\omega_0 kT) $ | $ \frac{z \sin(\omega_0 T)}{z^2 - 2z \cos(\omega_0 T) + 1} $ | 正弦序列 |
| 7 | $ \cos(\omega_0 kT) $ | $ \frac{z(z - \cos(\omega_0 T))}{z^2 - 2z \cos(\omega_0 T) + 1} $ | 余弦序列 |
| 8 | $ e^{-akT} $ | $ \frac{z}{z - e^{-aT}} $ | 指数衰减序列 |
| 9 | $ (k + n) $ | $ \frac{z(z + n)}{(z - 1)^2} $ | 延迟或超前的单位斜坡序列 |
| 10 | $ \frac{1}{k!} $ | $ e^{z} $ | 泰勒级数展开项 |
三、注意事项
1. 采样周期T：在实际应用中，z变换通常基于采样周期T进行定义，因此某些公式中会包含T的值。
2. 收敛域：z变换的收敛域（ROC）决定了系统的稳定性和因果性，需根据具体情况进行分析。
3. 初值定理与终值定理：这些定理可用于快速求解系统在初始时刻和稳态时的响应，是z变换的重要应用之一。
四、结语
掌握z变换的常用公式对于理解离散控制系统的行为至关重要。通过合理使用这些公式，可以有效分析系统的稳定性、响应特性及性能指标。在实际工程中，建议结合仿真工具（如MATLAB或Simulink）进行验证，以确保理论分析与实际结果的一致性。
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