【等比数列是什么】等比数列是数学中一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个固定的常数。这个常数称为“公比”。等比数列在数列、几何、金融计算等领域有广泛应用。
下面是对等比数列的基本概念和性质的总结，并通过表格形式进行对比说明。
一、基本概念
| 概念 | 说明 |
| 定义 | 一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值为同一个常数，这样的数列叫做等比数列。 |
| 公比 | 等比数列中相邻两项的比值，记作 $ q $，即 $ q = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $（$ n \geq 2 $） |
| 首项 | 数列的第一个数，记作 $ a_1 $ |
| 通项公式 | 第 $ n $ 项的表达式为：$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
二、等比数列的性质
| 性质 | 说明 | ||
| 连续三项的关系 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = a \cdot c $，且 $ b = \pm \sqrt{ac} $ | ||
| 和的公式 | 前 $ n $ 项和为：$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（当 $ q \neq 1 $ 时） | ||
| 无限等比数列的和 | 当 $ | q | < 1 $ 时，无穷等比数列的和为：$ S = \frac{a_1}{1 - q} $ |
| 等比数列的增减性 | - 当 $ q > 1 $ 时，数列递增； - 当 $ 0 < q < 1 $ 时，数列递减； - 当 $ q = 1 $ 时，数列为常数列； - 当 $ q < 0 $ 时，数列呈现正负交替变化。 |
三、示例说明
| 项数 | 数列 | 公比 $ q $ | 是否等比数列 |
| 1 | 2 | — | 是 |
| 2 | 6 | 3 | 是 |
| 3 | 18 | 3 | 是 |
| 4 | 54 | 3 | 是 |
该数列为等比数列，首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，通项公式为 $ a_n = 2 \cdot 3^{n-1} $
四、应用场景
- 金融领域：复利计算、投资增长分析
- 物理领域：放射性衰变、细胞分裂
- 计算机科学：算法复杂度分析
- 数学建模：人口增长、病毒传播等
五、小结
等比数列是一种具有固定比例关系的数列，其核心在于“公比”的存在。掌握等比数列的定义、通项公式和求和方法，有助于解决许多实际问题。通过表格对比可以更清晰地理解其特点和应用范围。
如需进一步了解等差数列或其他数列类型，可继续查阅相关资料。
以上就是【等比数列是什么】相关内容，希望对您有所帮助。
