【det是什么意思数学】在数学中，"det" 是 "determinant" 的缩写，中文称为“行列式”。它是线性代数中的一个重要概念，主要用于描述一个方阵的某些特性，例如矩阵是否可逆、解是否存在等。下面将对 "det" 的含义及其在数学中的应用进行总结。
一、什么是 det（行列式）？
定义：
对于一个 n×n 的方阵 A，其行列式是一个标量值，记作 det(A) 或
作用：
- 判断矩阵是否可逆：若 det(A) ≠ 0，则矩阵 A 可逆；若 det(A) = 0，则矩阵不可逆。
- 计算几何变换的面积/体积变化因子。
- 在求解线性方程组时，用于判断是否有唯一解。
二、行列式的计算方法
以下是一些常见阶数的行列式计算方式：
| 矩阵阶数 | 行列式公式示例 | 说明 |
| 1×1 | det([a]) = a | 单个元素的行列式就是它本身 |
| 2×2 | det([[a, b],[c, d]]) = ad - bc | 对角线乘积之差 |
| 3×3 | det([[a, b, c],[d, e, f],[g, h, i]]) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) | 按行展开法 |
| n×n | 通过递归或展开定理计算 | 更高阶矩阵通常使用拉普拉斯展开或行列式性质简化 |
三、行列式的主要性质
| 性质 | 内容 |
| 1 | det(A^T) = det(A)，即转置后的行列式不变 |
| 2 | 若两行（列）相同，det(A) = 0 |
| 3 | 交换两行（列），行列式变号 |
| 4 | 如果某一行（列）全为0，行列式为0 |
| 5 | 若矩阵有零行或零列，行列式为0 |
| 6 | 行列式与矩阵乘法的关系：det(AB) = det(A) × det(B) |
四、应用场景
| 应用领域 | 说明 |
| 线性代数 | 判断矩阵是否可逆、求特征值等 |
| 几何变换 | 表示线性变换对面积或体积的影响 |
| 解线性方程组 | 用于克莱姆法则（Cramer's Rule） |
| 微积分 | 在雅可比行列式中用于变量替换 |
五、总结
det 是数学中一个重要的概念，代表“行列式”，常用于判断矩阵的可逆性、求解线性方程组以及分析线性变换的性质。它在多个数学分支中都有广泛的应用，是理解矩阵和线性系统的重要工具。
| 关键词 | 含义 |
| det | determinant（行列式） |
| 行列式 | 方阵的一个标量值，反映矩阵的某些属性 |
| 可逆矩阵 | 行列式不为零的矩阵 |
| 克莱姆法则 | 利用行列式求解线性方程组的方法 |
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