【lnsinx的导数是多少】在微积分中，求函数的导数是基本且重要的技能之一。对于函数 $ y = \ln(\sin x) $，其导数可以通过复合函数的求导法则——即链式法则来计算。下面我们将详细说明如何求解这个函数的导数，并通过总结与表格形式进行清晰展示。
一、导数的推导过程
函数 $ y = \ln(\sin x) $ 是由两个函数复合而成：
- 外层函数：$ \ln(u) $
- 内层函数：$ u = \sin x $
根据链式法则，函数的导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}[\ln(u)] \cdot \frac{du}{dx}
$$
1. 外层函数的导数：
$$
\frac{d}{du}[\ln(u)] = \frac{1}{u}
$$
2. 内层函数的导数：
$$
\frac{du}{dx} = \cos x
$$
3. 代入并简化：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x
$$
因此，函数 $ \ln(\sin x) $ 的导数是 $ \cot x $。
二、总结与表格展示
| 函数表达式 | 导数表达式 | 推导步骤说明 |
| $ y = \ln(\sin x) $ | $ \frac{dy}{dx} = \cot x $ | 使用链式法则，先对 $ \ln(u) $ 求导，再乘以 $ \sin x $ 的导数 |
三、注意事项
- 该导数仅在 $ \sin x > 0 $ 的区间内有效，因为 $ \ln(\sin x) $ 在 $ \sin x \leq 0 $ 时无定义。
- 由于 $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $，所以在实际应用中也可以用此形式表示导数。
四、小结
通过对 $ \ln(\sin x) $ 进行链式法则的分析，我们得出其导数为 $ \cot x $。这一结果在三角函数和微分学中具有广泛的应用，尤其在物理、工程和数学建模中常被使用。理解这一过程有助于提高对复合函数求导的理解和掌握。
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