【等差数列公式】等差数列是数学中一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差是一个常数。这种数列在实际生活中应用广泛，如计算工资增长、建筑楼层高度、时间间隔等。为了更好地理解和运用等差数列，掌握其基本公式至关重要。
一、等差数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
- 公差（d）：等差数列中相邻两项的差值，记作 d。
- 首项（a₁）：数列的第一项。
- 通项公式：用于求出数列中任意一项的数值。
二、等差数列的主要公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 通项公式 | aₙ = a₁ + (n - 1)d | 求第 n 项的值 |
| 前 n 项和公式 | Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 | 求前 n 项的和 |
| 另一种前 n 项和公式 | Sₙ = n/2 [2a₁ + (n - 1)d] | 适用于已知首项和公差的情况 |
| 中间项公式 | aₘ = (a₁ + aₙ) / 2 | 若 n 为奇数，中间项为该值 |
三、公式使用示例
例题1：已知一个等差数列的首项 a₁ = 3，公差 d = 2，求第 5 项的值。
解法：
根据通项公式：
a₅ = a₁ + (5 - 1)d = 3 + 4×2 = 11
例题2：求上述数列的前 5 项和。
解法：
S₅ = 5 × (3 + 11) / 2 = 5 × 14 / 2 = 35
四、常见应用场景
1. 财务计算：如每月固定增加的工资或存款。
2. 工程测量：如建筑楼层的高度递增。
3. 时间序列分析：如每天气温的变化趋势。
4. 数学问题求解：如求某一段数列的和或特定项。
五、注意事项
- 等差数列必须满足“差值恒定”的条件。
- 如果题目中没有给出公差，需要通过已知项进行推算。
- 在实际应用中，注意单位的一致性，避免计算错误。
通过以上总结可以看出，等差数列的公式虽然简单，但在实际问题中却具有非常重要的作用。熟练掌握这些公式，有助于提高数学思维能力和解决问题的效率。
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