【定点分比定理公式】在数学中，尤其是在几何与解析几何领域，定点分比定理（也称为分点公式）是一个重要的工具，用于确定一条线段上某一点将该线段按一定比例分割时的坐标。该定理广泛应用于平面几何、向量分析以及计算机图形学等领域。
一、定点分比定理概述
定点分比定理是指：已知线段两端点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，若存在一点P(x, y)在线段AB上，并且满足AP:PB = m:n，则点P的坐标可以通过以下公式计算得出：
$$
x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \quad y = \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}
$$
其中，m和n为分比值，表示AP与PB的比例。
二、应用说明
- 当m:n = 1:1时，即为中点公式。
- 当m或n为0时，表示点P与A或B重合。
- 分比可以是正数或负数，负数表示点P在线段的延长线上。
三、总结与表格对比
| 项目 | 内容 |
| 定理名称 | 定点分比定理 |
| 定义 | 已知线段两端点A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，求线段上一点P(x, y)满足AP:PB = m:n时的坐标 |
| 公式 | $ x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n} $, $ y = \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} $ |
| 适用范围 | 平面几何、向量分析、计算机图形学等 |
| 特殊情况 | - m:n = 1:1 → 中点公式 - m=0或n=0 → P与A或B重合 |
| 分比意义 | m/n表示AP与PB的长度比，可为正或负 |
四、实际应用示例
假设A(2, 3)、B(6, 9)，求AP:PB = 2:1时的点P坐标：
$$
x = \frac{2 \times 6 + 1 \times 2}{2 + 1} = \frac{12 + 2}{3} = \frac{14}{3} ≈ 4.67 \\
y = \frac{2 \times 9 + 1 \times 3}{3} = \frac{18 + 3}{3} = \frac{21}{3} = 7
$$
因此，点P的坐标约为(4.67, 7)。
五、结语
定点分比定理是解决几何问题的重要工具，尤其在需要计算线段上的分点坐标时非常实用。掌握该定理不仅能提升解题效率，还能加深对几何关系的理解。通过合理运用该公式，可以在不同场景中快速得到准确结果。
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