【对勾函数最大值和最小值公式】对勾函数，又称“双钩函数”，是一种形如 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 的函数（其中 $ a > 0, b > 0 $），其图像呈“对勾”形状，具有明显的对称性和极值点。在实际应用中，对勾函数常用于优化问题、经济模型和物理问题等。本文将总结对勾函数的最大值与最小值的求解方法，并以表格形式展示关键信息。
一、对勾函数的基本性质
对勾函数的标准形式为：
$$
f(x) = ax + \frac{b}{x}
$$
其中，$ a > 0 $，$ b > 0 $，定义域为 $ x \neq 0 $。
该函数在 $ x > 0 $ 和 $ x < 0 $ 的区间上分别具有不同的单调性，但通常我们关注的是 $ x > 0 $ 的情况，因为此时函数具有最小值，而最大值则在边界或无穷远处取得。
二、对勾函数的极值分析
1. 求导法求极值
对函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 求导，得：
$$
f'(x) = a - \frac{b}{x^2}
$$
令导数为零，解得临界点：
$$
a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{b}{a}}
$$
由于 $ x > 0 $，所以取正根。
代入原函数，得到极小值：
$$
f\left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = a \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{\frac{b}{a}}} = 2\sqrt{ab}
$$
因此，当 $ x > 0 $ 时，函数在 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得最小值，最小值为 $ 2\sqrt{ab} $。
对于 $ x < 0 $ 的情况，函数在 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得最大值，最大值为 $ -2\sqrt{ab} $。
三、对勾函数最大值和最小值总结表
| 函数形式 | 定义域 | 极值类型 | 极值位置 | 极值大小 |
| $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ | $ x > 0 $ | 最小值 | $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ | $ 2\sqrt{ab} $ |
| $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ | $ x < 0 $ | 最大值 | $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ | $ -2\sqrt{ab} $ |
四、结论
对勾函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 在 $ x > 0 $ 区间内有唯一最小值，最小值为 $ 2\sqrt{ab} $，出现在 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处；而在 $ x < 0 $ 区间内有唯一最大值，最大值为 $ -2\sqrt{ab} $，出现在 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 处。
掌握这一公式有助于快速判断对勾函数的极值，广泛应用于数学建模、工程优化等领域。
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