【概率与统计基本公式】在学习概率与统计的过程中，掌握一些基本的公式是理解相关概念和进行实际计算的基础。以下是对概率与统计中常用公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、概率基础公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |||
| 概率的基本定义 | $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ | 事件A发生的概率等于有利结果数除以所有可能结果数 | |||
| 加法公式（互斥事件） | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $ | 若A和B互斥，则两事件至少一个发生的概率为两者概率之和 | |||
| 加法公式（一般情况） | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 适用于任意两个事件，避免重复计算交集部分 | |||
| 乘法公式（独立事件） | $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $ | 若A和B独立，则同时发生的概率为各自概率的乘积 | |||
| 条件概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ | 在已知B发生的条件下，A发生的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A | B_i) $ | 当事件A由多个互斥事件B₁, B₂,..., Bₙ引起时，A的概率可分解计算 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(B_i | A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A | B_j)} $ | 用于根据已知结果反推原因的概率 |
二、随机变量与分布
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 数学期望（离散型） | $ E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i) $ | 随机变量X的平均值 |
| 数学期望（连续型） | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | 对连续型随机变量求期望 |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 衡量随机变量与其均值的偏离程度 |
| 协方差 | $ Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ | 衡量两个随机变量之间的线性关系 |
| 相关系数 | $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X) \cdot Var(Y)}} $ | 衡量两个变量的相关性强弱，取值范围[-1,1] |
三、常见分布
| 分布类型 | 公式表达 | 说明 |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | 描述n次独立试验中成功次数的概率分布 |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | 描述单位时间内发生某事件的次数 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 连续型分布，广泛用于自然和社会科学 |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | 在区间[a,b]上均匀分布的密度函数 |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | 描述事件发生的时间间隔分布 |
四、统计推断基础
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 样本均值 | $ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $ | 描述样本数据的集中趋势 |
| 样本方差 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ | 衡量样本数据的离散程度 |
| 置信区间（正态总体） | $ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} $ | 估计总体均值的置信区间 |
| 假设检验（Z检验） | $ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} $ | 用于判断样本均值是否与总体均值有显著差异 |
总结
概率与统计是研究随机现象和数据规律的重要工具。掌握上述基本公式有助于更好地理解和应用概率论与统计学知识。通过结合理论分析和实际数据，可以更有效地进行预测、决策和问题解决。希望以上内容对学习者有所帮助。
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