【复数乘法运算法则】在数学中，复数是实数与虚数的组合，形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的乘法运算遵循一定的规则和步骤，下面将对复数乘法的运算法则进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、复数乘法的基本法则
复数乘法遵循分配律和结合律，其核心在于利用代数展开并处理虚数部分。具体步骤如下：
1. 展开乘积：将两个复数相乘，按照多项式乘法展开。
2. 合并同类项：将实数部分和虚数部分分别合并。
3. 化简结果：利用 $ i^2 = -1 $ 进行化简，得到最终的复数表达式。
二、复数乘法公式
设两个复数分别为：
- $ z_1 = a + bi $
- $ z_2 = c + di $
它们的乘积为：
$$
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di)
$$
根据乘法分配律，展开后为：
$$
= ac + adi + bci + bdi^2
$$
由于 $ i^2 = -1 $，所以：
$$
= ac + (ad + bc)i + bd(-1)
$$
整理得：
$$
= (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
三、复数乘法步骤总结（表格）
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 将两个复数写成标准形式：$ a + bi $ 和 $ c + di $ |
| 2 | 应用乘法分配律，展开乘积：$ (a + bi)(c + di) $ |
| 3 | 展开后得到：$ ac + adi + bci + bdi^2 $ |
| 4 | 利用 $ i^2 = -1 $ 化简：$ bdi^2 = -bd $ |
| 5 | 合并实部和虚部：实部为 $ ac - bd $，虚部为 $ ad + bc $ |
| 6 | 最终结果为：$ (ac - bd) + (ad + bc)i $ |
四、示例解析
假设 $ z_1 = 2 + 3i $，$ z_2 = 1 - 4i $，计算乘积：
$$
(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-4i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-4i)
$$
$$
= 2 - 8i + 3i - 12i^2
$$
$$
= 2 - 5i - 12(-1)
$$
$$
= 2 - 5i + 12 = 14 - 5i
$$
五、总结
复数乘法的核心在于正确应用代数展开和虚数单位的性质。掌握这一运算规则有助于进一步理解复数在几何、物理、工程等领域的应用。通过上述步骤和表格，可以系统地理解和记忆复数乘法的运算法则。
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