【等比数列的通项公式和求和公式】在数列的学习中，等比数列是一个非常重要的知识点。它不仅在数学中有着广泛的应用，也在实际生活中如金融、物理等领域经常出现。本文将对等比数列的通项公式与求和公式进行系统总结，并通过表格形式清晰展示其内容。

一、等比数列的基本概念

等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。这个固定的比值称为“公比”，通常用字母 $ q $ 表示。

例如：2, 6, 18, 54, 162,... 是一个等比数列，其中首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $。

二、等比数列的通项公式

通项公式用于求出等比数列中任意一项的值。

设等比数列的首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则第 $ n $ 项 $ a_n $ 的通项公式为：

$$

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

$$

说明：

- $ a_1 $：首项

- $ q $：公比（$ q \neq 0 $）

- $ n $：项数（$ n \in \mathbb{N}^ $）

三、等比数列的求和公式

等比数列的求和公式用于计算前 $ n $ 项的和。根据公比 $ q $ 是否为 1，分为两种情况：

1. 当 $ q \neq 1 $ 时：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{或} \quad S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

$$

说明：

- $ S_n $：前 $ n $ 项和

- 公式中的分母可以是 $ 1 - q $ 或 $ q - 1 $，取决于分子的形式

2. 当 $ q = 1 $ 时：

此时所有项都等于首项 $ a_1 $，因此前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = a_1 \cdot n

$$

四、总结对比表

五、应用举例

例1： 已知等比数列首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ q = 2 $，求第 5 项及前 5 项和。

- 第5项：$ a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48 $

- 前5项和：$ S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93 $

例2： 若公比 $ q = 1 $，首项 $ a_1 = 5 $，求前 7 项和。

- $ S_7 = 5 \cdot 7 = 35 $

六、注意事项

- 公比 $ q $ 不能为 0，否则数列中后续项均为 0，无法构成有效的等比数列。

- 当 $ q < 1 $ 时，若 $ n \to \infty $，数列趋于收敛，可使用无穷等比数列求和公式（适用于 $ q < 1 $）：

$$

S = \frac{a_1}{1 - q}

$$

通过以上总结，我们可以更清晰地掌握等比数列的通项与求和公式，并在实际问题中灵活运用。

以上就是【等比数列的通项公式和求和公式】相关内容，希望对您有所帮助。