【高数微积分公式大全】在高等数学的学习过程中，微积分是核心内容之一，涵盖了导数、积分、微分方程等多个重要知识点。为了便于复习和应用，以下对常见的高数微积分公式进行了系统总结，并以表格形式呈现，帮助读者快速查阅与记忆。
一、基本导数公式
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、基本积分公式
| 函数 | 积分 | ||
| $ f(x) = x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = \frac{1}{a^2 + x^2} $ | $ \int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left( \frac{x}{a} \right) + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left | \frac{x - a}{x + a} \right | + C $ |
三、常用积分技巧
| 方法 | 适用情况 | 示例 |
| 换元积分法 | 被积函数为复合函数 | $ \int \sin(2x) dx $ |
| 分部积分法 | 乘积形式的积分 | $ \int x \sin x dx $ |
| 有理函数分解 | 分母可因式分解 | $ \int \frac{1}{x^2 - 1} dx $ |
| 三角代换 | 含根号的表达式 | $ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx $ |
四、常见定积分公式
| 函数 | 定积分（从 $ a $ 到 $ b $） |
| $ f(x) = x^n $ | $ \int_a^b x^n dx = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int_a^b \sin x dx = -\cos b + \cos a $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int_a^b \cos x dx = \sin b - \sin a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ \int_a^b e^x dx = e^b - e^a $ |
五、微分方程基础公式
| 方程类型 | 通解形式 |
| 一阶线性微分方程 | $ y' + P(x)y = Q(x) $，通解为 $ y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right) $ |
| 可分离变量方程 | $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $，解为 $ \int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C $ |
| 齐次方程 | $ \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{y}{x} \right) $，设 $ v = \frac{y}{x} $，转化为可分离变量方程 |
六、泰勒展开与麦克劳林展开
| 函数 | 泰勒展开（在 $ x_0 $ 处） | 麦克劳林展开（在 $ x=0 $ 处） |
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x - x_0)^n}{n!} $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ |
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x - x_0)^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ |
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x - x_0)^{2n}}{(2n)!} $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (x - x_0)^n}{n} $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $ |
以上就是高等数学中微积分部分的主要公式总结。这些公式是学习和解题的基础工具，建议在实际应用中结合具体题目进行练习和理解。通过不断积累和熟练掌握，可以更高效地应对考试和科研中的复杂问题。
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