【高一数学等比数列的通项公式】在高一数学中，等比数列是一个重要的知识点。它与等差数列并列，是数列中的两大基本类型之一。等比数列的定义是：从第二项起，每一项与前一项的比都相等的数列。这个相等的比值称为“公比”，通常用字母 $ q $ 表示。
掌握等比数列的通项公式是学习这一部分的关键。通项公式可以帮助我们快速找到数列中的任意一项，而不需要逐项计算。
一、等比数列的通项公式
设一个等比数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots $，其中 $ a_1 $ 是首项，$ q $ 是公比，则第 $ n $ 项（即通项）可以表示为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
这个公式表明，等比数列的第 $ n $ 项等于首项乘以公比的 $ (n-1) $ 次方。
二、通项公式的应用举例
以下是一些常见问题及其解法，帮助理解如何使用通项公式。
| 题目 | 已知条件 | 解题步骤 | 结果 |
| 1. | 首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ q = 2 $，求第 5 项 | $ a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48 $ | $ a_5 = 48 $ |
| 2. | 首项 $ a_1 = 5 $，公比 $ q = -3 $，求第 4 项 | $ a_4 = 5 \cdot (-3)^{4-1} = 5 \cdot (-27) = -135 $ | $ a_4 = -135 $ |
| 3. | 第 3 项为 12，第 5 项为 48，求公比 $ q $ | 设 $ a_3 = a_1 \cdot q^2 = 12 $，$ a_5 = a_1 \cdot q^4 = 48 $，两式相除得 $ q^2 = 4 $，所以 $ q = 2 $ 或 $ q = -2 $ | $ q = 2 $ 或 $ q = -2 $ |
| 4. | 首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求第 6 项 | $ a_6 = 2 \cdot 3^{6-1} = 2 \cdot 243 = 486 $ | $ a_6 = 486 $ |
三、总结
等比数列的通项公式是解决相关问题的核心工具，其形式简单但应用广泛。通过掌握该公式，我们可以快速求出任意一项，也可以根据已知项反推出首项或公比。
在实际应用中，需要注意以下几点：
- 公比 $ q $ 可以为正、负或分数；
- 当 $ q = 1 $ 时，数列为常数列；
- 若 $ q > 1 $，数列递增；若 $ 0 < q < 1 $，数列递减；
- 若 $ q < 0 $，数列呈现正负交替的特性。
通过反复练习和理解通项公式的应用，能够有效提升对等比数列的掌握程度，为后续学习等比数列求和、无穷等比数列等内容打下坚实基础。
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