【等差数列求和公式】在数学中，等差数列是一类常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差为一个常数，称为公差。等差数列的求和是数列计算中的重要部分，掌握其求和公式对解决实际问题具有重要意义。
等差数列的求和公式可以用于快速计算一系列连续项的总和，而无需逐项相加。该公式基于数列的首项、末项以及项数，能够高效地完成计算任务。
一、等差数列的基本概念
| 概念 | 含义说明 |
| 等差数列 | 每一项与前一项的差为常数的数列 |
| 首项（a₁） | 数列的第一个数 |
| 末项（aₙ） | 数列的最后一个数 |
| 公差（d） | 相邻两项的差值 |
| 项数（n） | 数列中包含的项的个数 |
二、等差数列求和公式
等差数列的求和公式如下：
$$
S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ n $ 是项数。
另一种形式是根据首项和公差表示的公式：
$$
S_n = \frac{n}{2} \times [2a_1 + (n - 1)d
$$
这个公式适用于已知首项和公差的情况。
三、公式应用举例
| 示例 | 已知条件 | 计算过程 | 结果 |
| 1 | a₁=3, d=2, n=5 | $ S_5 = \frac{5}{2} \times [2 \times 3 + (5-1) \times 2] = \frac{5}{2} \times (6 + 8) = \frac{5}{2} \times 14 = 35 $ | 35 |
| 2 | a₁=10, a₅=20, n=5 | $ S_5 = \frac{5}{2} \times (10 + 20) = \frac{5}{2} \times 30 = 75 $ | 75 |
| 3 | a₁=1, d=3, n=6 | $ S_6 = \frac{6}{2} \times [2 \times 1 + (6-1) \times 3] = 3 \times (2 + 15) = 3 \times 17 = 51 $ | 51 |
四、总结
等差数列的求和公式是数学中的一项基本工具，广泛应用于各种计算场景中。通过掌握两种形式的求和公式，可以灵活应对不同条件下的问题。无论是已知首项和末项，还是已知首项和公差，都可以通过合适的公式快速得出结果。
了解并熟练使用这些公式，有助于提高解题效率，增强数学思维能力。
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